Zone du trapèze : formules et méthodes de calcul

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Zone du trapèze : formules et méthodes de calcul
Zone du trapèze : formules et méthodes de calcul
Anonim

Pour se sentir en confiance et résoudre avec succès les problèmes des cours de géométrie, il ne suffit pas d'apprendre des formules. Il faut d'abord les comprendre. Avoir peur, et plus encore détester les formules, est improductif. Dans cet article, différentes manières de trouver l'aire d'un trapèze seront analysées dans un langage accessible. Pour une meilleure assimilation des règles et théorèmes correspondants, nous porterons une attention particulière à ses propriétés. Cela vous aidera à comprendre comment fonctionnent les règles et dans quels cas certaines formules doivent être appliquées.

Définir un trapèze

zone trapézoïdale
zone trapézoïdale

Quel est ce chiffre en général ? Un trapèze est un polygone à quatre angles et deux côtés parallèles. Les deux autres côtés du trapèze peuvent être inclinés à des angles différents. Ses côtés parallèles sont appelés bases, et pour les côtés non parallèles, le nom "côtés" ou "hanches" est utilisé. De tels chiffres sont assez courants dans la vie de tous les jours. Les contours du trapèze peuvent être vus dans les silhouettes des vêtements, des objets d'intérieur, des meubles, de la vaisselle et bien d'autres. Le trapèze peut être de différents types: polyvalent, isocèle et rectangulaire. Nous analyserons leurs types et propriétés plus en détail plus loin dans l'article.

Propriétés du trapèze

quelle est l'aire du trapèze
quelle est l'aire du trapèze

Attardons-nous brièvement sur les propriétés de cette figure. La somme des angles adjacents à n'importe quel côté est toujours de 180°. Il convient de noter que tous les angles d'un trapèze totalisent 360°. Le trapèze a le concept d'une ligne médiane. Si vous reliez les milieux des côtés avec un segment, ce sera la ligne médiane. Il est désigné m. La ligne médiane a des propriétés importantes: elle est toujours parallèle aux bases (rappelons que les bases sont également parallèles entre elles) et égale à leur demi-somme:

m=(a+b)/2.

Cette définition doit être apprise et comprise, car c'est la clé pour résoudre de nombreux problèmes !

Au niveau du trapèze, vous pouvez toujours abaisser la hauteur jusqu'à la base. Une altitude est une perpendiculaire, souvent désignée par le symbole h, qui est tracée d'un point quelconque d'une base à une autre base ou son prolongement. La ligne médiane et la hauteur vous aideront à trouver l'aire du trapèze. Ces tâches sont les plus courantes dans le cours de géométrie de l'école et apparaissent régulièrement parmi les épreuves de contrôle et d'examen.

Les formules les plus simples pour l'aire d'un trapèze

zone trapézoïdale
zone trapézoïdale

Analysons les deux formules les plus populaires et les plus simples qui aident à trouver l'aire d'un trapèze. Il suffit de multiplier la hauteur par la moitié de la somme des bases pour trouver facilement ce que l'on cherche:

S=h(a + b)/2.

Dans cette formule, a, b désignent les bases du trapèze, h - la hauteur. Pour faciliter la lecture, dans cet article, les signes de multiplication sont marqués du symbole () dans les formules, bien que dans les ouvrages de référence officiels, le signe de multiplication soit généralement omis.

Prenons un exemple.

Étant donné: Un trapèze avec deux bases de 10 cm et 14 cm et une hauteur de 7 cm. Quelle est l'aire du trapèze ?

Analysons la solution à ce problème. En utilisant cette formule, vous devez d'abord trouver la demi-somme des bases: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Ainsi, la demi-somme est de 12 cm. Maintenant, nous multiplions la demi-somme par la hauteur: 127 \u003d 84. Le désiré est trouvé. Réponse: L'aire d'un trapèze est de 84 mètres carrés. voir

La deuxième formule bien connue dit: l'aire d'un trapèze est égale au produit de la ligne médiane et de la hauteur du trapèze. Autrement dit, cela découle en fait du concept précédent de la ligne médiane: S=mh.

zone trapézoïdale
zone trapézoïdale

Utilisation des diagonales pour les calculs

Une autre façon de trouver l'aire d'un trapèze n'est en fait pas si difficile. Il est relié à ses diagonales. Selon cette formule, pour trouver l'aire, il faut multiplier le demi-produit de ses diagonales (d1 d2) par le sinus de la angle entre eux:

S=½ d1 d2 sin a.

Considérons un problème qui montre l'application de cette méthode. Soit: un trapèze avec une longueur diagonale de 8 et 13 cm, respectivement L'angle a entre les diagonales est de 30°. Trouvez l'aire du trapèze.

Décision. En utilisant la formule ci-dessus, il est facile de calculer ce qui est nécessaire. Comme vous le savez, sin 30° est 0,5. Par conséquent, S=8130,5=52. Réponse: La superficie est de 52 mètres carrés. voir

Rechercher l'aire d'un trapèze isocèle

Trapèze peut être isocèle (isocèle). Ses côtés sont les mêmes Et les angles aux bases sont égaux, ce qui est bien illustré sur la figure. Un trapèze isocèle a les mêmes propriétés qu'un trapèze régulier, plus un certain nombre de propriétés spéciales. Un cercle peut être circonscrit autour d'un trapèze isocèle, et un cercle peut y être inscrit.

trouver l'aire du trapèze
trouver l'aire du trapèze

Quelles sont les méthodes pour calculer l'aire d'une telle figure ? La méthode ci-dessous nécessitera de nombreux calculs. Pour l'utiliser, il faut connaître les valeurs du sinus (sin) et du cosinus (cos) de l'angle à la base du trapèze. Leurs calculs nécessitent soit des tables Bradis, soit une calculatrice technique. Voici la formule:

S=c sin a (a – c cos a), où c est le côté latéral de la cuisse, a est l'angle à la base inférieure.

Un trapèze isocèle a des diagonales de même longueur. L'inverse est également vrai: si les diagonales d'un trapèze sont égales, alors il est isocèle. D'où la formule suivante, qui aide à trouver l'aire d'un trapèze - le demi-produit du carré des diagonales et du sinus de l'angle entre elles: S=½ d2péché A.

Trouver l'aire d'un trapèze rectangle

zone trapézoïdale
zone trapézoïdale

Il existe un cas particulier de trapèze rectangle. Il s'agit d'un trapèze, dans lequel un côté (sa cuisse) jouxte les bases à angle droit. Il a les propriétés d'un trapèze ordinaire. De plus, il a une fonctionnalité très intéressante. La différence des carrés des diagonales d'un tel trapèze est égale à la différence des carrés de ses bases. Pour cela, toutes les méthodes données précédemment pour calculer la surface sont utilisées.

Utilisez votre ingéniosité

Il y a une astuce qui peut aider en cas d'oubli de formules spécifiques. Regardons de plus près ce qu'est un trapèze. Si nous le divisons mentalement en parties, nous obtiendrons des formes géométriques familières et compréhensibles: un carré ou un rectangle et un triangle (un ou deux). Si vous connaissez la hauteur et les côtés du trapèze, vous pouvez utiliser les formules pour l'aire d'un triangle et d'un rectangle, puis additionner toutes les valeurs obtenues.

Illustrons cela avec l'exemple suivant. Soit un trapèze rectangle. Angle C=45°, les angles A, D sont de 90°. La base supérieure du trapèze est de 20 cm, la hauteur est de 16 cm. Il est nécessaire de calculer l'aire de la figure.

Décision

Cette figure se compose évidemment d'un rectangle (si deux angles font 90°) et d'un triangle. Puisque le trapèze est rectangulaire, sa hauteur est donc égale à son côté, soit 16 cm. Nous avons un rectangle avec des côtés de 20 et 16 cm, respectivement. Considérons maintenant un triangle dont l'angle est de 45°. Nous savons que l'un de ses côtés mesure 16 cm, puisque ce côté est aussi la hauteur du trapèze (et nous savons que la hauteur tombe sur la base à angle droit), donc le deuxième angle du triangle est de 90°. L'angle restant du triangle est donc de 45°. En conséquence, nous obtenons un triangle isocèle rectangle, dans lequel deux côtés sont identiques. Cela signifie que l'autre côté du triangle est égal à la hauteur, soit 16 cm. Il reste à calculer l'aire d'un triangle et d'un rectangle et à additionner les valeurs résultantes.

L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié du produit de ses jambes: S=(1616)/2=128. L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa largeur et sa longueur: S=2016=320. Nous avons trouvé le nécessaire: l'aire du trapèze S=128 + 320=448 m². voir Vous pouvez facilement vous revérifier en utilisant les formules ci-dessus, la réponse sera identique.

Utiliser la formule de pointe

zone trapézoïdale
zone trapézoïdale

Enfin, voici une autre formule originale qui aide à trouver l'aire d'un trapèze. C'est ce qu'on appelle la formule Pick. Il est pratique de l'utiliser lorsque le trapèze est dessiné sur du papier quadrillé. Des tâches similaires se retrouvent souvent dans les documents du GIA. Il ressemble à ceci:

S=M/2 + N – 1, dans cette formule M est le nombre de nœuds, c'est-à-dire intersections des lignes de la figure avec les lignes de la cellule sur les bords du trapèze (points oranges sur la figure), N est le nombre de nœuds à l'intérieur de la figure (points bleus). Il est plus pratique de l'utiliser pour trouver l'aire d'un polygone irrégulier. Cependant, plus l'arsenal de techniques utilisées est grand, moins il y a d'erreurs et de meilleurs résultats.

Bien sûr, les informations ci-dessus sont loin d'épuiser les types et les propriétés d'un trapèze, ainsi que les moyens de trouver son aire. Cet article donne un aperçu de ses caractéristiques les plus importantes. Pour résoudre des problèmes géométriques, il est important d'agir progressivement, de commencer par des formules et des problèmes simples, de consolider constamment la compréhension, de passer à un autre niveau de complexité.

Les formules les plus courantes rassemblées aideront les élèves à naviguer dans les différentes façons de calculer l'aire d'un trapèze et à mieux se préparer aux tests et aux tests sur ce sujet.

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